En linjär funktion f

För för att göra detta enklast för dig själv kan ni börja tillsammans att rita upp en koordinatsystem, detta är lättare att förstå helheten angående man även har detta visuellt.

f(x) betyder att y är ett funktion från x, angående f(3) = 4 samt f(-4) = 9 innebär det för att du äger två punkter i enstaka graf, dvs. (3,4) och (-4,9), eftersom f(3) innebär för att x=3, samt f(3) = 4 betyder att angående x är 3, är y 4. Eftersom för att y är en funktion av x.

För att beräkna k (lutningen) använder ni delta, alltså förändringen inom x samt y förhållande:
y1 - y2 / x1 - x2 = k

Välj någon från punkterna samt sätt in y, x och k i ett rät linjes ekvation (y = kx + m) och då får ni fram m.
När du fått fram m har ni en fullständig ekvation samt kan då byta ut f(x) mot f(12) samt få fram svaret.

En linjär funktion är en funktion f(x) som uppfyller följande två krav:

• för alla x och y, och
• för alla skalärer.

Det är inget krav att x eller y är reella tal utan de kan vara element i ett godtyckligt vektorrum, funktioner eller operatorer.

Ovanstående regler innebär allmänt att om är ett antal vektorer och är ett motsvarande antal skalärer så gäller att vilket är en mycket användbar egenskap hos funktionen.

Om en funktion inte uppfyller ovanstående krav kallas den en olinjär funktion, eller en icke-linjär funktion.

Problem som ger upphov till linjära funktioner är oftare enklare att lösa än de som ger upphov till olinjära funktioner. Därför lineariseras i praktiken gärna icke-linjära system, det vill säga de approximeras med ett linjärt system, så att de blir lättare att lösa.

Polynom av grad ett kallas också, något oegentligt, för linjära, trots att de inte behöver uppfylla ovan nämnda krav. Ett vanligt namn för de polynomen är affina funktioner. Orsaken till förbistringen är att den grafiska bilden av en affin funktion alltid är en rät linje, medan bara de räta linjer som går genom origo representerar linjära f

•

Linjära funktioner

I tidigare avsnittet gick vi igenom funktionsbegreppet och såg hur funktioner används för att beskriva samband mellan ett invärde och dess funktionsvärde. Den linjära funktionen \(f(x)\) är starkt relaterad till räta linjen varför resultat kan användas från den.

Vi kan skriva den linjära funktionen som \(f(x)=kx+m\). Att skriva den räta linjen som en funktion är användbart när man studerar definitionsmängd och värdemängd.

En linjär funktion är en funktion vars graf utritad i ett koordinatsystem motsvarar en rät linje.

Grafen till den linjära funktionen \(f(x)=2x-2\)

Exempel:

Betrakta den linjära funktionen \(f(x)=x+5\).

Funktionsvärdet \(f(x)\) är beroende av vad vi sätter in för värde på \(x\). Exempelvis om \(x=2\) så blir \(f(2)=2+5=7\) eller om \(x=5\) så blir \(f(5)=5+5=10\).

När vi sätter in olika värden på \(x\) så får funktionen olika värden. Sambandet mellan \(x\)-värdet och funktionsvärdet kan visualiseras i en värdetabell.

\(x\)	\(f(x)\)	Skrivs
\(0\)	\(5\)	\(f(0)=5\)
\(1\)	\(6\)	\(f(1)=6\)
\(2\)	\(7\)	\(f(2)=7\)
\(3\)	\(8\)	\(f(3)=8\)
\(4\)	\(9\)	\(f(4)=9\)

Grafen för \(f(x)\) kan sedan ritas